什么是奇排列什么是偶排列(奇排列与偶排列的定义和性质)

置换群、对称群等领域,奇排列和偶排列是两个常见的概念。但是,什么是奇排列?什么是偶排列?它们各有什么特点和性质?下面就让我们一起来了解一下。

1.置换的定义

置换是群论中的一个概念,指的是把$n$个数$1,2,3,cdots,n$按照一定的方式重新排列,得到一个新的数列的操作。置换一般用小括号或大括号表示。例如,把$1,2,3$按照$1 ightarrow2,2 ightarrow3,3 ightarrow1$的方式重新排列,可以表示为$(1,2,3)$或${123}$。

2.置换的符号表示

在数学中,一般用数列或表格表示置换。其中,下标代表原数列的编号,而数字代表对应编号的元素所在的新位置。例如,将$1,2,3$重排成$2,3,1$,可以表示为$sigma=(1,2,3) o(2,3,1)$。

3.奇排列的定义

如果一个置换可以用偶数次独立交换相邻两个元素得到,那么这个置换就称为偶排列。例如$(1,2,3)$是偶排列,因为可以通过$2$次交换,先将$1$与$2$交换,再将$2$与$3$交换,就可以得到$(2,3,1)$。如果一个置换不能用偶数次独立交换相邻两个元素得到,那么这个置换就称为奇排列。例如$(1,3,2)$是奇排列,因为无论如何交换,都无法得到$(2,3,1)$。

4.对称群

对称群是指$n$个不同点构成的置换群。对称群的阶为$n!$。在对称群中,奇排列和偶排列组成一个置换,称为$n$阶置换群的符号群,记作$S_n$。在$S_n$中,阶为偶数的置换数与阶为奇数的置换数相等。特别的,当$n=3$时,$S_3$中有$3$个偶排列和$3$个奇排列。

5.性质

(1)所有$n$阶置换中,奇排列和偶排列数量相同,即$S_n$群中奇置换个数与偶置换个数相等。

(2)任意两个置换$sigma_1$和$sigma_2$的乘积$sigma_1sigma_2$,其伯努利数的符号等于这两个置换的伯努利数的符号之积。即$sgn(sigma_1sigma_2)=sgn(sigma_1)sgn(sigma_2)$。

(3)偶排列的置换群是置换群的一个正规子群。

6.应用

奇排列和偶排列是很多数学问题中的重要概念。例如在矩阵行列式的计算中,奇排列与行列式的正负性有关。在密码学中,通过构造奇排列和偶排列的置换,可以实现数据的加密和解密。

综上所述,奇排列与偶排列是数学中常见的概念,用于描述置换的性质。学好奇排列和偶排列的定义和性质,对于理解和应用置换群、对称群和矩阵行列式等领域的知识都有很大的帮助。

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